электростатическое поле точечного заряда и равномерно заряженной сферы

Электростатическое поле точечного заряда и заряженной сферы

теория по физике 🧲 электростатика

Любые заряженные тела создают вокруг себя электростатическое поле. Рассмотрим особенности электростатического поля, создаваемого точечным зарядом и заряженной сферой.

Электростатическое поле точечного заряда

Направление силовых линий электростатического поля точечного заряда

Положительный заряд +Q Отрицательный заряд –Q
image1 14 image2 8
У положительного заряда силовые линии направлены по радиальным линиям от заряда. У отрицательного заряда силовые линии направлены по радиальным линиям к заряду.

Модуль напряженности не зависит от значения пробного заряда q:

Модуль напряженности точечного заряда в вакууме:

Модуль напряженности точечного заряда в среде:

Сила Кулона:

Потенциал не зависит от значения пробного заряда q:

Потенциал точечного заряда в вакууме:

Потенциал точечного заряда в среде:

Внимание! Знак потенциала зависит только от знака заряда, создающего поле.

Эквипотенциальные поверхности для данного случая — концентрические сферы, центр которых совпадает с положением заряда.

Работа электрического поля по перемещению точечного заряда:

A 12 = ± q ( φ 1 − φ 2 )

Пример №1. Во сколько раз увеличится модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом Q в некоторой точке, при увеличении значения этого заряда в 5 раз? Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом, определяется формулой:

Формула показывает, что модуль напряженности и электрический заряд — прямо пропорциональные величины. Следовательно, если заряд, который создает поле, увеличится в 5 раз, то модуль напряженности создаваемого поля тоже увеличится в 5 раз.

Электростатическое поле заряженной сферы

Направление силовых линий электростатического поля заряженной сферы:

Положительно заряженная сфера +Q Отрицательно заряженная сфера –Q
image3 6 image4 4
У положительно заряженной сферы силовые линии — это радиальные линии, которые начинаются из этой сферы. У отрицательно заряженной сферы силовые линии — это радиальные линии, которые заканчиваются в этой сфере.

Модуль напряженности электростатического поля заряженной сферы:

Внутри проводника (расстояние меньше радиуса сферы, или r E = 0

a — расстояние от поверхности сферы до изучаемой точки. r — расстояние от центра сферы до изучаемой точки.

Сила Кулона:

Пример №2. Определить потенциал электростатического поля, создаваемого заряженной сферой радиусом 0,1 м, в точке, находящейся на расстоянии 0,2 м от этой сферы. Сфера заряжена положительна и имеет заряд, равный 6 нКл.

Так как сфера заряжена положительно, то потенциал тоже положителен: image5 4

Два неподвижных точечных заряда действуют друг на друга с силами, модуль которых равен F. Чему станет равен модуль этих сил, если один заряд увеличить в n раз, другой заряд уменьшить в n раз, а расстояние между ними оставить прежним?

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Применим закон Кулона к парам зарядов. Закон Кулона для первой пары:

Закон Кулона для второй пары:

Коэффициент n сократился. Следовательно, силы, с которыми заряды взаимодействуют друг с другом, не изменятся:

После изменения зарядов модуль силы взаимодействия между ними останется равным F.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Screenshot 2 3В трёх вершинах квадрата размещены точечные заряды: +q, – «>– q, +q (q >0) (см. рисунок). Куда направлена кулоновская сила, действующая со стороны этих зарядов на точечный заряд +2q, находящийся в центре квадрата?

Алгоритм решения

Решение

Сделаем чертеж. В центр помещен положительный заряд. Он будет отталкиваться от положительных зарядов и притягиваться к отрицательным:

image1 21

Модули всех векторов сил, приложенных к центральному точечному заряду равны, так как модули точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата равны, и находятся они на одинаковом расстоянии от этого заряда.

Складывая векторы геометрически, мы увидим, что силы, с которыми заряд +2q отталкивается от точечных зарядов +q, компенсируют друг друга. Поэтому на заряд действует равнодействующая сила, равная силе, с которой он притягивается к отрицательному точечному заряду –q. Эта сила направлена в ту же сторону (к нижней правой вершине квадрата).

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Screenshot 3 3На неподвижном проводящем уединённом шарике радиусом R находится заряд Q. Точка O – центр шарика, OA = 3R/4, OB = 3R, OC = 3R/2. Модуль напряжённости электростатического поля заряда Q в точке C равен EC. Определите модуль напряжённости электростатического поля заряда Q в точке A и точке B?

Установите соответствие между физическими величинами и их значениями.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Источник

§ 1.12. Поле заряженной плоскости, сферы и шара

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Когда заряд распределен по какой-либо поверхности, то для расчета полей удобно ввести поверхностную плотность заряда с. Выделим на плоской поверхности маленький участок площадью ΔS. Пусть заряд этого участка равен Δq. Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда Δq к площади поверхности, по которой он распределен:

65 1

Эта плотность может непрерывно изменяться вдоль поверхности. Конечно, электрический заряд имеет дискретную (прерывную) структуру, так как сосредоточен в элементарных частицах. Но если на поверхности площадью ΔS содержится огромное число элементарных зарядов, то дискретную структуру заряда можно не принимать во внимание. Мы ведь пользуемся понятием плотности, считая, что масса непрерывно распределена в пространстве. А на самом деле все тела состоят из дискретных образований — атомов.

В случае равномерного распределения заряда q по поверхности площадью S поверхностная плотность заряда постоянна и равна:

65 2

Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Поверхностная плотность заряда σ известна. Из соображений симметрии очевидно, что линии напряженности представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости. Поле бесконечной плоскости — однородное поле. Во всех точках пространства, независимо от расстояния до плоскости, напряженность поля одна и та же.

Для применения теоремы Гаусса нужно выбрать замкнутую поверхность таким образом, чтобы можно было легко вычислить поток напряженности электрического поля через эту поверхность. В данном случае удобнее всего выбрать цилиндр, образующие которого параллельны линиям напряженности электрического поля, а основания параллельны плоскости (рис. 1.43).

1.43

Тогда поток через боковую поверхность цилиндра будет равен нулю. Поэтому полный поток равен потоку через основания цилиндра А и В:

66 1

где Еn — проекция вектора напряженности на нормаль к основанию цилиндра. Полный заряд внутри цилиндра равен σS. Согласно теореме Гаусса

66 2

Отсюда модуль напряженности равен:

66 3

В СИ эта формула принимает вид:

66 4

а в абсолютной системе

66 5

Поле равномерно заряженной сферы

Поток напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность внутри сферы равен нулю, так как равен нулю заряд. Это может быть лишь в том случае, когда напряженность поля внутри сферы равна нулю.

Найдем напряженность поля вне сферы. Из соображений симметрии ясно, что линии напряженности начинаются на поверхности сферы (в случае положительного заряда), направлены по радиусам сферы и перпендикулярны ее поверхности (рис. 1.44). Поэтому модуль напряженности поля одинаков во всех точках, лежащих на одинаковых расстояниях от центра сферы.

1.44

Проведем сферическую поверхность радиусом r > R, где R — радиус заряженной сферы. Поток напряженности через эту поверхность равен:

67 1

Если заряд сферы q, то по теореме Гаусса

67 2

Следовательно, модуль напряженности поля при r > R равен:

67 3

Таким образом, поле заряженной сферы совпадает вне сферы с полем точечного заряда, расположенного в центре сферы. График зависимости Е(r) изображен на рисунке 1.45.

1.45

Поле равномерно заряженного шара

Для характеристики распределения заряда по объему используется понятие объемной плотности заряда. Объемной плотностью заряда называется отношение заряда Δq к объему ΔV, в котором он распределен:

67 4

Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд q равномерно распределен по объему V, то объемная плотность заряда постоянна и равна:

68 1

Будем считать, что шар радиусом R равномерно заряжен; плотность заряда ρ известна. Полный заряд шара

68 2

Напряженность электрического поля вне шара можно найти с помощью теоремы Гаусса точно так же, как и напряженность равномерно заряженной сферы [см. формулу (1.12.9)]:

68 3

(при условии, что r > R). Поле аналогично полю точечного заряда q, расположенного в центре шара.

Для нахождения поля внутри шара нужно применить теорему Гаусса к потоку напряженности через сферическую поверхность радиусом к

Напряженность электрического поля линейно растет с увеличением расстояния вплоть до u = R. При r > R она определяется формулой (1.12.12). График модуля напряженности поля в зависимости от расстояния до центра представлен на рисунке 1.47.

1.47

Теорема Гаусса позволяет сравнительно просто определить напряженность электрического поля, если распределение заряда обладает определенной симметрией. Формулы (1.12.5), (1.12.9) и (1.12.15) следует запомнить. Их придется часто использовать.

Вопрос для самопроверки

* Мы предполагаем, что диэлектрическая проницаемость среды одинакова внутри и вне шара.

Источник

Электростатическое поле точечного заряда и равномерно заряженной сферы

В XIX веке английский учёный Майкл Фарадей выдвинул гипотезу, что электрическое и магнитное взаимодействия осуществляются посредством особой среды между ними, поля. Любой заряд `q` изменяет свойства пространства вокруг себя – создаёт вокруг себя поле, а уже это поле действует на другие заряды. Развитие науки и техники показало чрезвычайную плодотворность концепции поля. Вся теория электромагнитных явлений со всеми её приложениями существенным образом основывается на концепции поля. По мнению Эйнштейна, идея поля была самым важным открытием со времён Ньютона.

Идея электрического поля большинству людей кажется некоей абстрактной теоретической концепцией, поскольку электрическое поле (в отличие от поля магнитов) в обыденной жизни, в быту невозможно «почувствовать рукой». К вопросу о том, почему это так, мы вернёмся позже. Пока же обратимся к количественному описанию электростатического поля.

b9e51b700c63b421a5225e9389eb8f92

Если в поле точечного заряда `q` поместить на расстоянии `r` пробный точечный заряд `q_1`, то на этот заряд будет действовать сила `|vecF_1|=1/(4pi epsilon_0) (|q||q_1|)/(r^2)`. Если в ту же точку поместить другой пробный заряд `q_2`, то на него заряд со стороны заряда `q` будет действовать другая сила `|vecF_2|=1/(4pi epsilon_0) (|q||q_2|)/(r^2)`. Существенно, однако, что отношение силы, действующей на пробный заряд, к его заряду, `(vecF_1)/(q_1)=(vecF_2)/(q_2)`, останется одним и тем же и будет характеристикой не пробных зарядов, но исходного заряда `q` и местоположения `vecr` точки `A`, в которую мы помещали пробные заряды (см. рис. 1). Эта характеристика называется напряжённостью электрического поля точечного заряда `q` в точке `A`. Напряжённость поля есть векторная величина. Её модуль равен

`|vecE|=1/(4pi epsilon_0) (|q|)/(r^2)`. (1.3.1)

Если заряд `q` положительный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону от заряда вдоль прямой, соединяющей точечный заряд `q` и точку `A`; если же заряд `q` отрицательный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону к заряду вдоль той же прямой.

`vecE=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2) vece`. (1.3.1′)

Формулу (1.3.1.) иногда записывают в виде `|vecE|=1/(4pi epsilon_0) (|q|*(+1))/(r^2)`; при этом о напряжённости говорят как о силе, действующей со стороны заряда `q` на некий условный единичный положительный точечный заряд `(+1)` (не заряд в `+1` Кл!). Нужно, впрочем, помнить, что сила и напряжённость электрического поля имеют разную размерность. В системе СИ напряжённость электрического поля измеряется в вольтах на метр (В/м): `1`В/м `=1`Н/`1`Кл.

8699dc5bdabb1d4a7d0f7544d6c8dcdf

Принцип суперпозиции. Напряжённость есть векторная величина. Это означает, что если имеются два заряда `q_1` и `q_2` каждый из них в некоторой точке создаёт свои напряжённости поля `vecE_1` и `vecE_2`, то результирующая напряжённость (результирующая сила, действующая на единичный положительный заряд, со стороны обоих зарядов) будет равна векторной сумме

получаемой по правилу параллелограмма (рис. 2) или треугольника.

Аналогично, в случае `N` зарядов:

`vecE=vecE_1+vecE_2+. +vecE_N=sum_(k=1)^N vecE_k`, (1.3.3)

причём векторная сумма вычисляется по правилу многоугольника (либо последовательно несколько раз по правилу параллелограмма).

Введя понятие напряжённости электрического поля, мы каждой точке пространства около заряда `q` (или около системы зарядов) приписываем некоторый вектор `vecE=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2)vece` (в случае системы зарядов нужно ещё вычислить сумму (1.3.3.)), который, в конце концов, позволяет вычислять по формуле `vecF=q^’vecE` силу, действующую на любой другой заряд `q^’`.

Расстояние между точечными зарядами `q_1=+1` нКл и `q_2=-2` нКл равно `d=13` см. Определить напряжённость результирующего электрического поля обоих зарядов в точке, расположенной на расстоянии `r_1=5` см от первого и `r_2=12` см от второго заряда.

Легко заметить, что `r_1^2+r_2^2=d^2`, т. е. треугольник, образованный зарядами и интересующей нас точкой, прямоугольный. Поэтому напряжённости, создаваемые в этой точке отдельными зарядами, перпендикулярны друг другу (рис. 3). Далее, по теореме Пифагора

`E=sqrt(E_1^2+E_2^2)`, где `E_1=1/(4pi epsilon_0) (q_1)/(r_1^2)=3600` В/м и `E_2=1/(4pi epsilon_0) (|q_2|)/(r_2^2)=1250` В/м.

779ad7c2873f0a471c6a1374b13e08d1

Электрическое поле равномерно заряженной сферы. Вне равномерно заряженной сферы электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр сферы точечный заряд, равный по величине суммарному заряду сферы (рис. 4, а – б). Нетривиальный факт состоит в том, что внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю (см. `[2 – 3]`).

da8cd679c49c595ab74958cdec3ea101

Если имеются две концентрические равномерно заряженные сферы, то за пределами обеих сфер поле такое же, какое создавали бы два точечных заряда, равные зарядам сфер и помещённые в их общий центр. В области между сферами внешняя сфера не вносит вклада в напряжённость поля.

Вне равномерно заряженного по объёму шара электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр шара точечный заряд, равный по величине суммарному заряду шара. Последнее легко понять: поле шара можно представить как результирующее поле множества тонких шаровых слоёв («сфер»). О том, каким будет поле внутри шара, см. Пример 8.

Оценить заряд Земли `Q`, если известно, что в среднем вблизи поверхности Земли существует статическое электрическое поле, направленное вниз перпендикулярно поверхности Земли в каждой её точке, напряжённость которого равна `E

130` В/м. Радиус Земли `R

Напряжённость электрического поля направлена вниз перпендикулярно поверхности Земли, т. е., к центру Земли. Отсюда можно сделать вывод, что заряд Земли отрицателен. По формуле (1.3.1).

Хотя атмосфера Земли обладает положительным электрическим зарядом, она не вносит вклада в напряжённость электрического поля на поверхности Земли (каждый из её сферических слоёв даёт нулевой вклад в напряжённость поля). Напряжённость поля порядка `130` В/м есть среднее поле вблизи поверхности Земли. При приближении, например, грозовой тучи поле может возрасти в тысячи раз.

Какой максимальный заряд можно сообщить металлическому шарику радиусом `r=1` см, чтобы ещё не происходило пробоя воздуха. Пробойное поле сухого воздуха `E_»пр»

3*10^6` В/м. (Если напряжённость электрического поля больше этого значения, происходит пробой воздуха – воздух начинает проводить электричество (возникает электрический ток) – и заряд стекает с заряженных тел на другие тела.)

По формуле (1.3.1) получаем `q_(max)=4pi epsilon_0E_»пр»r^2

Оценить силу взаимодействия двух шариков радиусом `r=1` см, заряженных до максимально возможного заряда (чтобы ещё не происходило пробоя воздуха вблизи шариков) при расстоянии между центрами шариков `d=10` см. Пробойное поле сухого воздуха `E_»пр»

`f=1/(4pi epsilon_0) (q_(max)^2)/(d^2)=1/(4pi epsilon_0) ((4pi epsilon_0E_»пр»r^2)^2)/(d^2)=(4pi epsilon_0E_»пр»^2r^4)/(d^2)

Мы получили весьма малую силу (сила тяжести, действующая на льдинку массой `1` г объёмом примерно в `1 «см»^3`, почти в `10` раз больше). Вот почему, хотя электрические силы обычно считаются большими, заметить их не всегда легко. Реально мы видим лишь электрическое притяжение друг к другу очень лёгких тел (например, листочков бумаги к наэлектризованной расчёске).

Пользуясь тем свойством, что внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю, найти напряжённость поля внутри равномерно по объёму заряженного шара радиусом `R` и зарядом `Q`. (К таким практически равномерно по объёму заряженным шарам можно с хорошей точностью отнести, например, атомные ядра.)

7adb73848bea93b5ce02a62c80839ec0

Электрический диполь. Так называется система, состоящая из двух точечных зарядов равных по величине, но противоположных по знаку. Пусть заряды `q_1=-q` и `q_2=+q` в некоторой системе координат характеризуются радиус-векторами `vecr_1` и `vecr_2` (см. рис. 6). Дипольным моментом диполя называется векторная величина `vecp=q_1vecr_1+q_2vecr_2=q(vecr_2-vecr_1)=qvecl`, а величина `l=|vecl|=|vecr_2-vecr_1|` называется плечом диполя.

66fda3359f837132f507c081347cef7f

e/(4pi epsilon_0) (2Rl)/(R^4) =1/(4pi epsilon_0) (2el)/(R^3)=1/(4pi epsilon_0) (2p)/(R^3)

Рассмотрим более сложный пример использования принципа суперпозиции.

По тонкому кольцу радиусом `r` равномерно распределён заряд `q`. Найти напряжённость электрического поля на оси кольца в точке `A`, расположенной на расстоянии `R` от центра (рис. 7).

085769c81756a18592589e0700e8a632

1/(4pi epsilon_0) q/(R^2)` для точечного заряда.

Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Вычисление поля в данном случае требует привлечения знаний высшей математики. Без сложных вычислений можно, однако, сделать два следующих утверждения, основываясь лишь на соображениях симметрии, а также на том факте, что густота линий напряжённости пропорциональна величине `vecE` (см. Учебник):

26a17c1e80165d6ad63980295da083f8

1) Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости перпендикулярно плоскости (рис. 8). Дело в том, что перпендикуляр к плоскости – единственное выделенное направление в задаче. Если бы вектор `vecE` был направлен под некоторым углом `alpha` к плоскости, мы бы ещё спросили себя: «Чем это направление лучше, чем все другие прямые, имеющие тот же угол `alpha` с плоскостью, и направленные вдоль образующих конуса с углом `alpha` при вершине?» Ясно, что ничем не лучше: если плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках, то и любые направления вдоль неё эквивалентны друг другу.

Величина вектора напряжённости `vecE` может быть вычислена по формуле

Хотя в природе не существует бесконечных равномерно заряженных плоскостей, формула (1.3.4) с успехом используется для расчётов электрических полей заряженных тел в виде больших пластин или просто плоских объектов при небольшом удалении от центральной их части.

Электростатическое поле создаётся двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными с поверхностными плотностями заряда `sigma_1=-1 «нКл»//»м»^2` и `sigma_2=+1 «нКл»//»м»^2`. Определить напряжённость электрического поля между плоскостями и снаружи.

`|sigma_1|=sigma_2-=sigma`, `|E_1|=|E_2|-=E=sigma//2 epsilon_0`. Далее воспользуемся принципом суперпозиции полей. Между плоскостями напряжённости полей отдельных пластин направлены в одну и ту же сторону (рис. 9), по этому результирующая напряжённость `E_(«in»)=2E=sigma//epsilon_0=113` В/м и направлена от положительной плоскости к отрицательной. Снаружи поля разных плоскостей направлены в противоположные стороны, поэтому результирующая напряжённость поля там `E_(ex)=0`.

87729a69b841f7de8ba612088049fa2e

Пользуясь принципом суперпозиции, доказать, что напряжённость электрического поля равномерно заряженной полусферической чаши во всех точках плоскости, стягивающей края чаши (как кожа на барабане), перпендикулярна этой плоскости.

Мысленно дополним полусферу ещё одной такой же полусферой так, чтобы получилась целая сфера. Напряжённость поля внутри равномерно заряженной сферы равна нулю. С другой стороны, эта напряжённость складывается из двух напряжённостей – исходной полусферы `vecE` и мысленно добавленной `vecE^’`. Таким образом, имеем равенство `vecE+vecE^’=0`, или `vecE=-vecE^’`. Последнее возможно только в том случае, если углы наклона векторов `vecE` и `vecE^’` к плоскости одинаковы, т. е. равны `90^@` (рис. 10).

Источник

Читайте также:  что заполнять в поле предоставить налоговый вычет
Оцените статью
Мой дом
Adblock
detector